Câu 1: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực


b) Giải phương trình sau trên tập số thực:


Câu 2: (4 điểm) Cho
thuộc
. Chứng minh rằng:


Câu 3: (4 điểm) Cho dãy số :
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên. Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác
và điểm
nằm trong tam giác sao cho
Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
Giả sử
là điểm nằm trong tam giác sao cho
a) Chứng minh rằng:
và
vuông góc. b)Nếu góc
vuông thì
là trực tâm tam giác
Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên A có 9 chữ số. Biết rằng trong biểu diễn thập phân của A; chữ số hàng đơn vị bằng số các chữ số 8 trong A; chữ số hàng chục bằng số các chữ số 7 trong A;chữ số hàng trăm bằng số các chữ số 6 trong A; cứ như vậycho đến chữ số hàng trăm triệu bằng số các chữ số 0 trong A .

Câu 3: (4 điểm) Cho dãy số :
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Từ
ta suy ra được rằng
Từ đây, ta xét dãy
Từ Lại có
 

Câu 2: Ta có
Do vậy ta chỉ cần chứng minh:
(1) Do
nên Ta có bất đẳng thức đúng sau

Xây dựng các bất đẳng thức còn lại ta có:
Do vậy để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh:

Nhưng bất đẳng thức trên đúng do
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi
Hoặc hai số bằng 2, một số bằng 1  

Câu b bài 1: Ta có
Đặt
Ta được:
Xét
Nên
đồng biến trên

Mà
Vậy
là nghiệm của pt  

Câu 1a: Thấy ngay y khác 0. hệ Suy ra
từ đây dễ dàng làm tiếp.  
Câu 5: (2 điểm) Lời giải Số cần tìm có dạng:
. Theo đề ta có:
và

Từ
, chăm chi xét ta tìm được số thỏa đề là
.